在本节中，我们从定性描述结果过渡到严格的定量框架。我们定义随机变量时，并非将其视为代数意义上的“变量”，而是将其视为一个确定性的映射——函数——它将样本空间中的元素转换为实数轴上的数值。
函数定义（定义 2.1.1）
随机变量 $X$ 是一个函数 $X: S \to R^1$，它将样本空间 $S$ 中的每一个可能结果 $s$ 映射为一个实数 $X(s)$。请参考 图 2.1.1 以直观展示该过程的映射关系。
指示函数 ($I_A$)
为了连接集合论与算术，我们定义事件 $A$ 的指示函数为：
$$I_A(s) = \begin{cases} 1 & s \in A \\ 0 & s \notin A \end{cases}$$
这将事件的发生转化为一个二元数值信号。
定义分布（定义 2.2.1）
随机变量 $X$ 的“分布”是其对所有子集 $B \subseteq R^1$ 的概率 $P(X \in B)$ 的集合。严格来说，要求 $B$ 是一个 Borel 子集，这是测度论中的一个技术性限制。然而，我们实际能够定义的任何子集都是 Borel 子集。
概率的极限与连续性
为确保函数在无限情形下行为可预测，我们依赖于定理 1.3.4 和 1.6.1 所确立的公理：
- 可数可加性（1.7.1）： $P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = \sum P(B_n)$，其中 $B_n$ 是 $A_n$ 的互不相交版本。
- 概率的连续性（1.7.2）： 若事件序列 $\{A_n\} \nearrow A$，则 $\lim_{n \to \infty} P(A_n) = P(A)$。
定理 1.3.4 的证明
我们要证明：对于任意事件序列 $A_1, A_2, \dots$（不一定互不相交）：
$$P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) \leq P(A_1) + P(A_2) + \cdots$$
这被称为布尔不等式，是复杂系统中界定概率的基本工具。
🎯 历史背景
术语“随机变量”之所以被选中，而非“机会变量”，是由于 乔·杜布 和 威廉·费勒 在 1950 年代初通过一次硬币投掷决定的。尽管从技术上讲它是一个函数，但“变量”这一名称因这次著名投掷而沿用至今，成为历史遗留。